SENSE隨筆140502
羅素數學哲學淺談
執筆人：蟬
羅素Bertard Russell是分析哲學的奠基人。 他作品眾多，涵蓋範圍甚廣，從宗教、政治、數學、語言、邏輯到形上學等等都有論及。作品中以《The Principles of Mathematics數學的原理》、《Principia Mathematica數學原理》與《The Problems of Philosophy哲學問題》在學術界享負盛名。 羅素也是極少數取得 諾貝爾文學獎的哲學家（卡繆Camus和沙特Sartre也曾獲獎）。 而羅素對哲學界的影響力，除了為現代英語世界主流的「分析哲學」建立理論框架外，亦可從其著名學生 維根斯坦身上看到。
羅素少年進入 劍橋三一學院，正值黑格爾哲學最具影響力之時，受到英國國內唯心論Idealism哲學家如F.H. Bradley等影響而成為唯心論者。
「唯心論」粗淺的定義：即相信所知萬物皆為思想的產物。***
如17世紀伯克來主教Bishop Berkeley指出，世界是一個思想的共同體，而當中“創造”最多思想產物的正是上帝； 因相信整個世界是一個整體，故亦稱「一元論Monism」。
〈數學原理〉
羅素在學習數學時受到哲學家朋友Moore影響，發現唯心論大有問題。並在極短時間內放棄唯心論而轉投「多元實在論plural realism」，認為萬物與人的思想是獨立存在的。*** 哲學上的轉向，令羅素熱切地尋求可以確定知道的事物，並令他放棄了基督教。
羅素曾在大學教授 萊布尼茲Leibniz的哲學。 萊布尼茲夢想建設一套通用而且精確的語言去解決所有的哲學問題，羅素起初對這個想法的反應是負面的，認為邏輯只是推理工具，並不能解決所有哲學問題。
然而當他在一個哲學會議遇上意大利數學家 皮亞諾Peano後，便改變了主意。當時皮氏正在發展一套用以描述數學的邏輯符號體系。 羅素參考皮氏的方法後，為正在編寫的哲學著作找到了突破口。
羅素給自己的任務是：證明數學即邏輯，數學可以完全以邏輯語言表達。***
羅素嘗試用最少限度的邏輯符號logical notions去表達數學，而其中需要描述的重要環節便是「自然數natural numbers」。 究竟數字1, 2, 3…可以如何定義呢？羅素的工具便是「集合set 」。***
羅素指出，要定義特定的數字，著眼點應該是該數字的特徵characteristics。
舉例：“一雙筷子”包含數字2的特徵，是2的事例instance，卻不是2本身。
數字只能在物件放置在一起的時候體現，例如將物件放在一個袋子中，袋子內的物件便擁有數量的特徵（先撇除空袋的狀況）。 將這個放置物件的容器稱為「集合set」，並把置於其中的物件稱為其「成員member」。**** (編按：後來通稱為「元素element」。)
故數字2是所有擁有兩個成員的集合的集合set of set； 同理數字3則是所有擁有三個成員的集合的集合，如此類推。***
但要留意以上的“定義”當中有使用到“兩個”等數字去定義數字，是為循環論證，不是有效的定義。
為了解決這個問題，羅素引入「相似similar」的概念。他指出邏輯上要判斷不同集合之間是否有同等數量的成員比直接定義數字容易。***
羅素舉例：如果去除一夫多妻制和一妻多夫制，在一時間點丈夫和妻子的數量應為相等。如果集合S包括所有的丈夫，而集合S’包括所有的妻子，則丈夫與妻子的關係便稱為「一對一one-one」，而S與S’便是相似的集合。***
現在把數字的定義稍為修正：
Def. 如果N包含所有與集合S相似的集合，則N是S的「數量」。****
“The number of a class is the class of all those classes that are similar to it.”
繼而可以進一步定義：
Def. 「數字」是任何集合的數量。****
“A number is anything which is the number of some class.”
羅素以這個方式去定義自然數。
舉例（2的定義）：一個擁有成員X與Y的集合，當中X與Y並不相同identical。或者說如果集合內有成員Z，則Z必然和X或Y相同。
由於現時邏輯學使用的「集合論Set Theory」在羅素著書時還未被確立，在大量使用邏輯符號與集合的同時，羅素為邏輯學作出不少貢獻。 例如現時通用的符號 ∀ (for all)和 ∃ (there exists, for some)也是由他創製的。
每當羅素想要在符號邏輯領域內更踏前一步時，便會遇上一個困難的問題，即著名的「羅素的悖論Russell’s Paradox」。
〈羅素的悖論〉
羅素在工作中發現一個奇怪的情況，即有些集合是自身的成員，而有些則不是。當初羅素以為是自己有所失誤，但後來他逐漸發現這是一個事實。舉例：
- S是筷子的集合，S不是筷子，所以S並不是自身的成員；
- S’是非筷子的集合，而由於S’不是筷子，所以S’是自身的成員。
再試想以下的問題：
假如A是所有不包含自身的集合的集合，那A是否自身的成員？按照集合的定義，則A不應該是自身的成員。若A不是自身的成員，A便符合成為A集合成員的條件，A便是A的成員。
結論：若A不是自身的成員，則A是自身的成員。*****
“羅素的悖論” 恍惚是他寫作數學原理的魔咒。他嘗試訂立輔助性公設supplementary axiom去解決問題（公設可理解為理論中無條件的前設），如備受爭議的「無限公設Axiom of infinity」和「選擇公設Axiom of choice」等，但始終未能圓滿解決悖論。 與羅素合作撰寫「數學原理」的Whitehead(編按：羅素的指導老師) 更因此託付家人，在其死後要將第4卷付諸一炬，故此「數學原理」第4卷從未出版。
著名數學家Kurt Godel在1931年出版「Incompleteness Theorems不完全定理」證明任何內在一致的循環公設系統self-consistent recursive axiom system，即使能以邏輯描述自然數算術natural number arithmetic，也存在一些不能以系統公理去證明的命題。羅素提出的選擇公設也一併被此定理所反證。
在1937年出版的數學原理修訂版中，羅素在前言中提到，他仍然堅信數學即是邏輯。然而，Godel的不完全定理至今仍然屹立不倒。
參考：
《Russell: A Very Short Introduction》(2002) A.C. Grayling
《羅素及其哲學》(1998) 胡基峻
《Russell’s Logicism》 Jeff Speakers http://www3.nd.edu/~jspeaks/courses/mcgill/370/index.htm